MATHEMATICA第一讲 1 数的运算 算例 378/123 N378/123/6 (*取小数点后6位的近似值*) Pi2 E(-1) 100! NPi/100 NI(-I) 2 常用数学函数 Sqrt 平方根/ Exp 指数函数/ Log 对数函数/ Sin 正弦函数/ Cos 余弦函数/ Tan 正切函数/ Cot 余切函数/ Sec 正割函数/ Csc 余割函数/ ArcSin 反正弦函数/ ArcCos 反余弦函数/ ArcTan 反正切函数/ ArcCot 反余切函数/ ArcSec 反正割函数/ ArcCsc 反余割函数/ Sinh 双曲正弦/ Cosh 双曲余弦/ Tanh 双曲正切/ Coth 双曲余切/ Sech 双曲正割/ Csch 双曲余割/ ArcSinh 反双曲正弦/ ArcCosh 反双曲余弦/ ArcTanh 反双曲正切/ / 算例 SinNSqrt3/50 3 其它函数 ! 阶乘 Modn/m n取模m的结/ Quotientn/m n除以m的商的整数部分 GCDn/mLCMn/m n和m的最大公约数和最小公倍数 Round 距离近似数x最近的整数 Floor 不大于x的最大整数 算例 100! Quotient10/3 GCD105/30 Round-1/234 Floor-1/234 4 变量的赋值与替换 算例 f1=x2+3 x+1 (*将表达式赋给变量f1*) f1//x-3 (*求f1当x=3时的值f1(3)*) f1//x-x+1 (*在f1中用x+1替换x得到f1(x+1)*) f1=/ (*取消变量f1的定义*) f1//x-3 (*此时已经得不到所想的结果f1(3)*) 5 多项式计算 Expandp (* 多项式展开*) Factorp (*多项式因式分解*) 算例 p1=x3-6x2+11x-6 p2=(x-1)*(x-2)*(x-3) Factorp1 Expandp2MATHEMATICA第二讲 一元函数的图形 一 命令语句 Plot表达式/变量/下限/上限/可选项 Plot表达式/表达式///变量/下限/上限/可选项 二 可选参数项 第一类参数 1/ PlotRange-y1/y2 指定作图纵座标范围为(y1/y2) 默认值为Atuomatic或指定 All 执行算例 PlotTanx/x/-2Pi/2Pi PlotTanx/x/-2Pi/2Pi/PlotRange-10/10 PlotExp-x2*Sin6x/x/-2/2/PlotRange-0/5/0/5 PlotExp-x2*Sin6x/x/-2/2/PlotRange-All 2/AspectRatio-Automatic 按实际比例作图 默认值为Atuomatic=0/618/1 执行算例 PlotSqrt1-x2/x/-1/5/1/5 PlotSqrt1-x2/x/-1/5/1/5/ AspectRatio-Automatic 3/ Axes-Automatic 画坐标轴自动确定位置 Axes-None 不画坐标轴 Axes-x0/y0 指定坐标原点在(x0/y0)处 执行算例 PlotCosx/x/-2Pi/2Pi PlotCosx/x/-2Pi/2Pi/Axes-None PlotCosx/x/-2Pi/2Pi/Axes-1/2 4 AxesLabel-None 不说明坐标轴的标记 AxesLabel-x/y 指定横轴为x纵轴为y AxesLabel-u/v 指定横轴为u纵轴为v 执行算例 PlotSinx/x/x/-10/10/AxesLabel-None PlotSinx/x/x/-10/10/AxesLabel-x/y PlotSinx/x/x/-10/10/AxesLabel-时间T/电流I 5/ Ticks-i/j 规定坐标轴上的刻度位置 Ticks-t1/t2/t3// 执行算例 PlotArcSinx/ArcCosx/x/-1/1/ PlotStyle-RGBColor0/1/1/Thickness0/01/ RGBColor1/0/1/Dashing0/05/0/05 第二类 参数 1/DisplayFunction-Identity 只生成图形现在不显示 执行算例 PlotSinTanx-TanSinx/x/1/2/ DisplayFunction-Identity PlotSinTanx-TanSinx/x/-2/2 2/ PlotPoints-50 指定计算函数值的取点数为 50 执行算例 PlotSinTanx-TanSinx/x/-2/2/PlotPoints-50 3/ MaxBend 说明曲线的折线在相邻两段之间的最大折角 执行算例 4/ PlotDivision 说明取点的限度 执行算例 5/PlotStyle-Thicknesst 描述线宽 PlotStyle-GrayLeveli 描述灰度 PlotStyle-RGBColorr/g/b 描述颜色 PlotStyle-Dashingd1/d2// 描述虚线的画法 PlotStyle-PointSize0/03 描述点的大小 执行算例 PlotSinx/Sin2x/Sin3x/x/0/2Pi/ PlotStyle-RGBColor1/0/0/RGBColor0/1/0/ RGBColor0/0/1 PlotSin1/x/x/-1/1 PlotSqrt1+x2/x/-6/6/PlotStyle-Dashing0/02/0/01 PlotSinCosSinx/x/-Pi/Pi Plot(TanSinx-SinTanx)/x2/x/-5/5 PlotEx/ArcTanx/EArcTanx/x/-5/5/PlotPoints-100 三 图形的重新显示，组合，存储和输出 Showt 重新显示 Showt1/t2///tn 将几个图形合在一起 执行算例 f1=Plotx/x/0/1/2/PlotRange-0/2 f2=Plot1/x/x/0/1/2/PlotRange-0/3 f3=ParametricPlot2/t/t/0/2 Showf1/f2/f3 Displayfilename/图形保存图形到文件中存为Postsceipt 格式 Hardcopy图形 将图形送去打印 四 二维参数图形 ParametricPlotx(t)/y(t)/t/下限，上限/可选项 执行算例 ParametricPlotSint/Cost/t/0/2*Pi/ AspectRatio-Automatic ParametricPlotSin2*t/Cos3*t/t/0/2*Pi/ AspectRatio-Automatic y1=ParametricPlotCost3/Sint3/t/0/2*Pi/AspectRatio-Automatic y2=ParametricPlotCost/Sint/t/0/2*Pi/AspectRatio-Automatic Showy1/y2 z1=ParametricPlott-Sint/1-Cost/t/0/2*Pi/AspectRatio-Automatic 五 极坐标图形 执行算例 rt_/=(3Cost2-1)/2 ParametricPlotrt Cost/rt Sint/t/0/2Pi/ AspectRatio-Automatic rt_/=2(1-Cost) ParametricPlotrt Cost/rt Sint/t/0/2Pi/AspectRatio-Automatic rt_/=2Sin3t ParametricPlotrt Cost/rt Sint/t/0/2Pi/AspectRatio-Automatic rt_/=Cos2*t ParametricPlotrt Cost/rt Sint/t/0/2Pi/AspectRatio-Automatic rt_/=0/5*t ParametricPlotrt Cost/rt Sint/t/0/2Pi/AspectRatio-Automatic rt_/=Expt/3 ParametricPlotrt Cost/rt Sint/t/0/2Pi/AspectRatio-Automatic rt_/=Cos8*t ParametricPlotrt Cost/rt Sint/t/0/2Pi/AspectRatio-Automatic 六 动画制作 GraphicsAnimation 调入动画制作软件包 Animate图形/自变量/下限/上限/参变量/下限/上限/步长 执行算例 1/1/1/5 3 不加***影的情形 Plot3Dx2+y2/x/-1/1/y/-1/1/BoxRatios-1/1/1/5/Shading-False 4 不打开照明的情形 Plot3Dx2+y2/x/-1/1/y/-1/1/ BoxRatios-1/1/1/5/ Lighting-False 5 不设网格的情形 Plot3Dx2+y2/x/-1/1/y/-1/1/ BoxRatios-1/1/1/5/Boxed-False/Axes-False/Mesh-False -SurfaceGraphics- 6 用参数方式图形更合乎实际情形 ParametricPlot3D函数表达式/变量，上限，下限/可选项 执行算例ParametricPlot3Dv Sinu/v Cosu/v2/v/0/1/u/0/2Pi/BoxRatios-1/1/1ParametricPlot3Du/u2/t/u/-1/1/t/0/1/PlotPoints-25/Lighting-True/ViewPoint-2/-1/1 7 视点的选择 Plot3DCosSqrtx2+y2/x/-10/10/y/-10/10/ PlotPoints-25/Lighting-True/ViewPoint-1/1/2 Plot3DCosSqrtx2+y2/x/-10/10/y/-10/10/ PlotPoints-25/Lighting-True/ViewPoint-0/0/1 Plot3DCosSqrtx2+y2/x/-10/10/y/-10/10/PlotPoints-25/Lighting-True/ViewPoint-0/1/2 ParametricPlot3Du2/u/v/v/0/2/u/-2/2/BoxRatios-1/1/0/6/ViewPoint-1/3/1/Shading-True 8 将多个曲面放在一张图上 Z1=Plot3Dx*y/x/0/1/y/0/1 Z2=ParametricPlot3Du/u/t/u/0/1/t/0/1/PlotPoints-25/Lighting-True Z3=ParametricPlot3D1/u/t/u/-1/1/t/0/1/ PlotPoints-25/Lighting-True ShowZ1/Z2/Z3/BoxRatios-1/1/1/ViewPoint-1/1/1/Shading-False 9 动画制作 25/Lighting-True/ ViewPoint-Cos2*Pi*t/Sin2*Pi*t/1/t/0/1/1/6 波纹面动画演示 注意：此演示需要较大内存，耐心等待。 -8/8/t/0/1/75/0/25 10 等值线图和密度图 例1 逢山开路问题 要在一山区修建公路，首先测得一些地点的高程，数据见下表 *) A=370/470/550/600/670/690/670/620/580/450/400/300/100/150/250/ 510/620/730/800/850/870/850/780/720/650/500/200/300/350/320/ 650/760/880/970/1020/1050/1020/830/800/700/300/500/550/480/350/ 740/880/1080/1130/1250/1280/1230/1040/900/500/700/780/750/650/550/ 830/980/1180/1320/1450/1420/1400/1300/700/900/850/840/380/780/750/ 880/1060/1230/1390/1500/1500/1400/900/1100/1060/950/870/900/930/950/ 910/1090/1270/1500/1200/1100/1350/1450/1200/1150/1010/880/1000/1050/1100/ 950/1190/1370/1500/1200/1100/1550/1600/1550/1380/1070/900/1050/1150/1200/ 1430/1450/1460/1500/1550/1600/1550/1600/1600/1600/1550/1500/1500/1550/1550/ 1420/1430/1450/1480/1500/1550/1510/1430/1300/1200/980/850/750/550/500/ 1380/1410/1430/1450/1470/1320/1280/1200/1080/940/780/620/460/370/350/ 1370/1390/1410/1430/1440/1140/1110/1050/950/820/690/540/380/300/210/ 1350/1370/1390/1400/1410/960/940/880/800/690/570/430/290/210/150/ (*下面作三维地形图*) ListPlot3DA/400 (*增加一些可选项*) ListPlot3DA/400/HiddenSurface-False/Boxed-False (*下面作等值线图*) ListContourPlotA/400 (*下面作密度图*) ListDensityPlotA/400 例2 二元函数的等值线图和密度图 Plot3DSinx2+y2/x/0/Pi/y/0/Pi ContourPlotSinx2+y2/x/0/Pi/y/0/Pi DensityPlotSinx2+y2/x/0/2Pi/y/0/2PiMATHEMATICA第四讲方程求解 一/ 代数方程求解 Solvefx=0/x (*一个方程求解*) Solvef1x/y=0/f2x/y=0/x/y N%给出数值解 执行算例 Solvex4-x3-6x2+1=0/x N% 执行算例 Solvex-2y=0/x2-y=1/x/y (*方程组求解*) 执行算例 Solvea*x2+b*x+c=0/x (*请注意，能够求出公式解的情况是很少的，比如五次以上的代数 方程就已经没有公式解了。*) 执行算例 Solvex5+5x3-3=0/x N% 二/求超越方程的近似解 FindRootfx=0/x/x0 求方程f(x)=0在x0附近的根 执行算例 f=SinxExp2x-Cosx FindRootf=0/x/0/5 MATHEMATICA第五讲微积分运算 一/ 极限 Limit函数表达式/x-x0 执行算例 PlotSinx/x/x/-10/10 LimitSinx/x/x-0 执行算例 PlotSqrtx2+3x-x/x/0/100 LimitSqrtx2+3x-x/x-Infinity/N 有的时侯Mathematica会求不出极限 Limit(1+1/x)x/x-infinity 如果改写成下面的形式/则可以求出极限值 Limit(1+x)(1/x)/x-0 用下面的方式计算的更快 ExpLimit(1/x)Log1+x/x-0 二/ 微分 Dfx/x Dfx/y/y Dfx/x/n 执行算例 Dx3+3x2-5x+1/x DSinx*Expx y/y FindMinimumfx/x/x0(*求函数的极值*) 执行算例 Lx_/=Exp-x2/2 FindMinimum-Lx/x/0 三/不定积分与定积分 Integratefx/x 求不定积分 Integratefx/x/a/b 求定积分 NIntegratefx/x/a/b 求数值积分 Simplityfx 将表达式化简 执行算例 Integrate1/Sqrt1-x2/x 执行算例 Integrate1/Sqrt1-x2/x/-1/1 执行算例 Integrate(x+1)/(x2+3x+5)/x D%/x(*验证之*) Simplify% 执行算例 NIntegrate1/Sqrt1-x2/x/-1/1 PlotSinx/x/x/-2Pi/2Pi NIntegrateSinx/x/x/0/000001/Pi 四/幂级数展开 Seriesfx/x/x0/n 将函数f(x)在x0点展开n阶 Normal% 去掉幂级数的余项尔后可以求值或画图形 执行算例 S=SeriesSinx/x/0/10 S1=NormalS a1=PlotSinx/x/0/2Pi/PlotStyle-RGBColor1/0/0 a2=PlotS1/x/0/2Pi/ PlotStyle-RGBColor0/0/1 Showa1/a2/AspectRatio-Automatic MATHEMATICA 第六讲线性方程组的表达方式和解法 一/向量和矩阵的输入 1/Rangen Rangen/m Rangen/m/h 执行算例 Range5 Range1/10/2 2/Table(1/2)n/n/0/10 (*由通项构造表*) Tablef1(n)/F2(n)/n/n1/n2/h 执行算例 Table(1/2)n/n/0/10 A=TableNormalSeriesSinx/x/0/n/n/1/11/2 (*Sinx的六个正规化后的幂级数展开式的表*) 执行算例 Tablex/x2/x/-1/0/1/0/0/2 TableExpand(xi+i*x)2/i/2/5 TableModn/2/n/0/17 TableSumxi/i/0/n/n/1/5 TableRandom/10 TableRandomReal/1/10/10 3/Array函数/n (*由函数表达式构造表*) Array函数，n1/n2/n3// 执行算例 ArrayExp/5（*等价于TableExpx/x/5*） ArrayMod/10/10 （*等价于TableModn/mn/0/10/m/0/10*） 4/NestListfn/n0/k 用递推公式建立表元素 Clearn，n0/rnt/fnt/t1/t2 t1=(Sqrt5+1)/2 t2=(1-Sqrt5)/2 fnt=Table(t1(n+1)-t2(n+1)/Sqrt5/n/0/40/N rnt=Tablefntn-1/fntn/n/2/12 5/向量与矩阵的标准输入法 A=x1/x2/x3// A=a11/a12/a13/a21/a22/a23/a31/a32/a33 ColumnForma1/a2///an把向量用列方式输出 MatrixFormA 用矩阵方式显示 IdentityMatrixn 生成n阶单位阵 DiagonalMatrixa11/a22///ann生成对角阵 执行算例 A1=1/2/3 ColumnFormA1 A2=DiagonalMatrix1/2/3/4/5 MatrixFormA2 IdentityMatrix3 DiagonalMatrix1/2/3/4/5 MatrixForm% 二/行列式 DetA 执行算例 A=1/2/3/4/5/6/7/8/9 MatrixFormA DetA 三/矩阵求逆/求特征值，特征向量 InverseA EigenvalueA EigenvectorA 执行算例 ClearA A=4/6/0/-3/-5/0/-3/-6/1 EigenvaluesA EigenvectorsA 四/恰定方程求解 问题1 x1+6x2+36x3=104 x1+10x2+100x3=160 x1+20x2+400x3=370 程序 ClearA1/b A1=1/6/36/1/10/100/1/20/400/ b=104/160/370/ LinearSolveA1/b(*求方程组的解*) X=InverseA1/b (*用求逆矩阵方法求解*) 五/欠定方程求解 问题2 2x1+x2-x3+x4=1 x1+2x2+x3-x4=2 x1+x2+2x3+x4=3 程序 A2=2/1/-1/1/1/2/1/-1/1/1/2/1 b2=1/2/3/ X=x1/x2/x3/x4/ SolveA2/X=b2/x1/x2/x3/x4 MATHEMATICA第七讲函数的插值 一/拉格朗日插值 L=List InterpolatingPolynomialL/x 执行算例1 两点线性插值 L=0/0/3/0/2/0/45 I=InterpolatingPolynomialL/x 执行算例2 三点抛物插值 L1=0/0/3/0/2/0/45/0/4/0/15 I1=InterpolatingPolynomialL1/x 执行算例3 多点拉格朗日插值 L2=0/0/3/0/2/0/45/0/3/0/47/ 0/52/0/50/0/64/0/38/0/7/0/33/1/0/0/24 I2=InterpolatingPolynomialL2/x Plot%/x/-0/25/1/05 执行算例4 作正弦在0，P上五点插值函数图形 g0=PlotSinx/x/0/Pi L=LineTablex/Sinx/x/0/Pi/Pi/4 g=GraphicsL Showg0/g sinApn_/=GraphicsLineTablex/Sinx/ x/0/Pi/Pi/(n+1) sinAp2 Showg0/% 二/龙格现像演示 L=Tablex/1/(1+25*x2)/x/-1/1/0/2 a=InterpolatingPolynomialL/x b=Plot1/(1+25*x2)/x/-1/1/ PlotStyle-RGBColor1/0/0 c=Plota/x/-1/1 Showb/c 三/ 两点三次Hermite插值 执行算例5 Clearx/y/h0/h1/H0/H1 x1=0/1/y1=1/2/m=1/2/1/2/ h0x_/=(1+2*x)*(x-1)2/ h1x_=(1-2(x-1)*(x/(x-1)2 H0x_=x*(x-1)2 H1x_=(x-1)*x2 Hx_=y11*h0x+y12*h1x +m1*H0x+m2*H1x %//x-0/55 四/ N+1个节点的2N+1次Hermite插值 执行算例6 Clearx0/y/bb/w/w1/w2/L/h/H/Hm x0=0/4/0/5/0/6/0/7/0/8 y=TableLogx/x/0/40/0/80/0/10 m=Table1/x/x/0/40/0/80/0/10 bbx_=InterpolatingPolynomialy/x Simplifybbx bb0/55 wx_=(x-x01)*(x-x02)*(x-x03)*(x-x04)*(x-x05) w1x_=Dwx/x/ Simplifyw1x w2x_=Dwx/x/2/ Simplifyw2x For i=1/iPointSize0/03/ RGBColor0/0/1 ft1=Fitb2/1/x/x gp=Plotft1/x/100/190/PlotStyle-RGBColor1/0/0/ Showfp/gp 二/抛物线拟合 执行算例 B=TablePrimen/n/20 t1=ListPlotB/PlotStyle-RGBColor0/1/1/ PointSize0/04 f=FitB/1/x/x2/x t2=Plotf/x/0/20 Showt1/t2 三/多项式拟合 执行算例 data=0/1/2/1/1/4/2/1/3/3/1/5/4/1/3/5/1/3/6/1/1/ t2=ListPlotdata/PlotStyle-PointSize0/05/ RGBColor1/0/0 fx=Fitdata/1/x/x2/x3/x4/x5/x t1=Plotfx/x/0/6/PlotStyle-RGBColor1/0/1 Showt1/t2 执行算例 b3=1/4/2/6/4/3/8/0/4/8/4/5/9/28/6/9/5/ 7/9/7/8/9/86/9/10/0/10/10/2/11/10/32/ 12/10/42/13/10/5/14/10/55/15/10/58/ 16/10/6 gp=ListPlotb3/PlotStyle-RGBColor0/1/0/ PointSize0/04 ft2=Fitb3/Tablexi/i/0/4/x fp=Plotft2/x/0/17/PlotStyle-RGBColor1/0/0 Showgp/fp 四/非线性拟合-指数拟合 执行算例 求一个经验函数/型如 x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 15/3 20/5 27/4 36/5 49/1 65/5 87/8 117/6 程序 b4=1/15/3/2/20/5/3/27/4/4/36/6/5/49/1/ 6/65/5/7/87/8/8/117/6/ gb4=ListPlotb4/PlotStyle-RGBColor0/0/1/ PointSize0/05 y4=Tableb4i/2/i/1/8/ ly4=Logy4/ fy4=Fitly4/1/x/x sx_/=Expfy4 ty=Plotsx/x/1/8/Axes-2/60/ AspectRatio-1/ PlotStyle-RGBColor1/0/0/ PlotRange-10/120 Showty/gb4/ Axes-2/60/AxesLabel-x/y/ AspectRatio-1/ Ticks-1/2/3/4/5/6/7/8/0/30/60/90/120 执行算例 求一个经验函数/型如y=a*exp(-bx)与所给数据拟合 x 0/4 0/5 0/6 0/7 y 1/75 1/34 1/00 0/74 程序 Clearfx/fy/biao/nb/ft/ft1/t1 fxx_/=x fyy_/=Logy biao=0/4/1/75/0/5/1/34/0/6/1/00/0/7/0/74/ nb=Tablefxbiaoi/1/fybiaoi/2/i/1/4/ (*拟合方程*) ft=Fitnb/1/x/x ft1=Expft (*拟合曲线*) t1=Plotft1/x/0/1/0/AxesLabel-x/y/ PlotStyle-RGBColor1/0/0 t2=ListPlotbiao/PlotStyle-RGBColor0/0/1/PointSize0/04 Showt1/t2/PlotRange-0/2 五/用正交多项式作拟合 0/1区间上的勒让得多项式 (*定义勒让得函数(n=10)*) Clearx/t/s n=10 P0x_/=1 P1x_/=1-2x/n P2x_/=1-6 x/n+6 x*(x-1)/(n*(n-1) P3x_/=1-12 x/n+30x*(x-1)/(n*(n-1)-20 x*(x-1)*(x-2)/(n*(n-1)*(n-2) P4x_/=1-2 x+x*(x-1)-140x*(x-1)*(x-2)/720+70x*(x-1)*(x-2)*(x-3)/(10*9*8*7) P5x_/=1-30x/n+210x*(x-1)/(n*(n-1)-560x*(x-1)*(x-2)/(n*(n-1)*(n-2) +630x*(x-1)*(x-2)*(x-3)/(n*(n-1)*(n-2)*(n-3) -252 x*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)/(n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4) (*输入初始数据*) t=0/5/10/15/20/25/30/35/40/45/50/ y=0/1/27/2/16/2/86/3/44/3/87/4/15/4/37/4/51/4/60/4/66/ (*做变量替换*) x=t/5/ (*计算各多项式在节点处的值*) A=P0x/P1x/P2x/P3x/P4x/P5x (*计算每一行元素平方的和*) s=Table0/i/1/6/ Fork=1/k=6/k+/ sk=0/ For i=1/i=11/i+/ sk=sk+Ak/i2 Ns/6 (*计算Pk(xi)*yi*) r=Table0/i/1/6/j/1/11 Fori=1/i=11/i+/ r1/i=b0i*yi Fori=1/i=11/i+/ r1/i=b0i*yi Fori=1/i=11/i+/ r1/i=b0i*yi Fori=1/i=11/i+/ r1/i=b0i*yi Fori=1/i=11/i+/ r2/i=b1i*yi Fori=1/i=11/i+/ r3/i=b2i*yi Fori=1/i=11/i+/ r4/i=b3i*yi Fori=1/i=11/i+/ r5/i=b4i*yi Fori=1/i=b/X=0 命令格式 ConstrainedMaxf/inequalities/x/y// ConstrainedMinf/inequalities/x/y// LinearPro
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