1、关于求圆锥曲线方程的方法重难点归纳 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤 定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0/n0) 定量由题设中的条件找到“式”***定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 典型题例示范讲解 例1某电厂***塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A是双曲线的顶点，C、C是***塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，已知AA=14 m，CC=18 m/BB=
2、22 m/塔高20 m 建立坐标系并写出该双曲线方程 命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力 知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积 错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程 解 如图，建立直角坐标系xOy/使AA在x轴上，AA的中点为坐标原点O，CC与BB平行于x轴 设双曲线方程为=1(a0/b0)/则a=AA=7又设B(11/y1)/C(9/x2)因为点B、C在双曲线上，所以有由题意，知y2y1=20/由以上三式得 y1=12/y2=
3、8/b=7故双曲线方程为=1 例2过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程 命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题 错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键 技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二，用韦
4、达定理 解法一 由e=/得/从而a2=2b2/c=b 设椭圆方程为x2+2y2=2b2/A(x1/y1)/B(x2/y2)在椭圆上 则x12+2y12=2b2/x22+2y22=2b2/两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0/设AB中点为(x0/y0)/则kAB=/又(x0/y0)在直线y=x上，y0=x0/于是=1/kAB=1/设l的方程为y=x+1 右焦点(b/0)关于l的对称点设为(x/y)/由点(1/1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2/b2= 所求椭圆C的方程为 =1/l的方程为y=x+1 解法二 由e=/从而a2=2b2/c=b 设椭圆C的方程为x2+2y2=2
5、b2/l的方程为y=k(x1)/将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0/则x1+x2=/y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直线l y=x过AB的中点()/则/解得k=0，或k=1 若k=0/则l的方程为y=0/焦点F(c/0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1)/即y=x+1/以下同解法一 例3如图，已知P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运
6、用所学知识分析问题、解决问题的能力 知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程 错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出P1OP2的面积是学生感到困难的 技巧与方法 利用点P在曲线上和P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值 解 以O为原点，P1OP2的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系 设双曲线方程为=1(a0/b0)由e2=，得 两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=x设点P1(x1/ x1)/P2(x2/x2)(x10/x20)/则由点P分所成的比=2/得P点坐标为()/又点P在双曲线=1
7、上，所以=1/即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2/整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4/b2=9故双曲线方程为=1 例4 双曲线=1(bN)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|5/|PF1|/|F1F2|/|PF2|成等比数列，则b2=_ 解析 设F1(c/0）、F2(c/0)、P(x/y)/则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2)/即|PF1|2+|PF2|250+2c2/又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|PF2|/依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4/依已知条件有|PF1|PF2
8、|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2/c2/又c2=4+b2/b2/b2=1 答案 1学生巩固练习 1 已知直线x+2y3=0与圆x2+y2+x6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，则m等于( )A 3B 3C 1D 12 中心在原点，焦点在坐标为(0，5)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为( )3 直线l的方程为y=x+3/在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x24y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_ 4 已知圆过点P(4，2)、Q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，则该圆的方程为_ 5 已知椭圆的
9、中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=，试求椭圆的方程 6 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长 7 已知圆C1的方程为(x2)2+(y1)2=/椭圆C2的方程为=1(ab0)，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程 参考答案/1 解析 将直线方程变为x=32y/代入圆的方程x2+y2+x6y+m=0/得(32y)2+y2+(32y)+m=0
10、 整理得5y220y+12+m=0/设P(x1/y1)、Q(x2/y2)则y1y2=/y1+y2=4 又P、Q在直线x=32y上，x1x2=(32y1)(32y2)=4y1y26(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y26(y1+y2)+9=m3=0，故m=3 答案 A2 解析 由题意，可设椭圆方程为 =1/且a2=50+b2/即方程为=1 将直线3xy2=0代入，整理成关于x的二次方程 由x1+x2=1可求得b2=25/a2=75 答案 C3 解析 所求椭圆的焦点为F1(1/0)/F2(1/0)/2a=|PF1|+|PF2| 欲使2a最小，只需在直线l上找一点P 使|PF1|+|PF
11、2|最小，利用对称性可解 答案 =14 解析 设所求圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2则有 由此可写所求圆的方程 答案 x2+y22x12=0或x2+y210x8y+4=05 解 |MF|max=a+c/|MF|min=ac/则(a+c)(ac)=a2c2=b2/b2=4/设椭圆方程为设过M1和M2的直线方程为y=x+m将代入得 (4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0设M1(x1/y1)、M2(x2/y2)/M1M2的中点为(x0/y0)/则x0= (x1+x2)=/y0=x0+m= 代入y=x/得/由于a24/m=0/由知x1+x2=0/x1x2=/又|M1M2|=/代入x1+x2/x1x2可解a2=5/故所求椭圆方程为 =1 6 解 以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(10，4）、(10，4）设抛物线方程为x2=2py/将A点坐标代入，得100=2p(4)/解得p=12 5/于是抛物线方程为x2=25y 由题意知E点坐标为(2，4)，E点横坐标也为2，将2代入得y=0 16/从而|EE|=(0 16)(4)=3 84 故最长支柱长应为3 84米 7
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