江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1/已知，为虚数单位，且，则=_/【答案】4【解析】解：利用复数相等，可知由有2/设***，则实数_【答案】【解析】解：因为***，则说明了，解得a=13/从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差 【答案】【解析】试题分析：5名学生平均数为160，因此方差为考点：方差4/执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是_/【答案】8【解析】【分析】根据伪代码逆向运算求得结果/【详解】输入，若，则，不合题意若，则，满足题意本题正确结果：【点睛】本题考查算法中的语言，属于基础题/5/函数的单调递增区间为_/【答案】【解析】【分析】求解出函数定义域，求出在定义域中的增区间即为原函数的增区间/【详解】由题意可知函数定义域为： 将拆分为：和可知时，单调递增；又单调递增可得的单调递增区间为：本题正确结果：【点睛】本题考查利用“同增异减”求解复合函数的单调区间，易错点是忽略函数的定义域/6/100张卡片上分别写有1/2/3，100的数字从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是_/【答案】【解析】【分析】求解出之内是的倍数的数有个，根据古典概型求出结果/【详解】之内是的倍数的数有：可知共有个本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型的概率问题的求解，属于基础题/7/已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥的体积为_/【答案】【解析】【分析】根据侧棱长和侧棱与底面夹角求得高和底面边长，利用体积公式求得结果/【详解】由题意可知：，本题正确结果：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是利用侧棱与底面夹角，求得几何体的高和底面边长，属于基础题/8/记公比为正数的等比数列an的前n项和为Sn/若a11，S45S20，则S5的值为_/【答案】31【解析】 由等比数列的求和公式，由，得，即，又因为正数等比数列，解得，所以。9/已知函数（），且（），则 【答案】【解析】试题分析：由题意得，而，因此，解得考点：三角函数性质10/已知点，若圆上存在点M满足/则实数的取值范围是_/【答案】【解析】【分析】根据得到轨迹，可知只需两圆有交点即可；根据两圆位置关系的判定，得到不等式，从而求得结果/【详解】设，则，即点轨迹为：又为圆上的点存在点，只需两圆有交点即可 本题正确结果：【点睛】本题考查两圆位置关系的判定，关键是能够通过已知确定两圆有交点，即满足内切、相交或外切的位置关系，利用得到不等式，求得最终结果/11/已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_。【答案】【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为点睛/解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内12/已知椭圆上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AFBF，当ABF时，椭圆的离心率为_/【答案】【解析】【分析】根据对称性可知四边形为矩形，利用直角三角形表示出，根据椭圆定义得到满足的方程，从而求得离心率/【详解】设为椭圆左焦点，连接，由椭圆对称性和可知：四边形为矩形又 ，由椭圆定义可知：本题正确结果：【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用椭圆的定义建立起之间的齐次方程，求解齐次方程求得离心率/13/在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则cos Acos Bcos C_/【答案】【解析】【分析】由正弦定理求得，再利用求得，进而得到，从而求得结果/【详解】由正弦定理可知：，即设，则，可知同号，则均为锐角在中，可得： 则，本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，关键是利用三角形内角的正切值之和等于正切值之积构造出等式，求出三个内角的正切值/14/记实数中的最大数为，最小数为/已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是/【答案】【解析】试题分析：显然，又，当时，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而当时，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而综上所述，的取值范围是。考点：不等式、简单线性规划/二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15/在中，角的对边分别为，已知成等比数列，且（1）若，求的值； （2）求的值【答案】（1）；（2）/【解析】分析：（1）由平面向量数量积可得，根据等比数列的性质可得，结合余弦定理可得；（2）由，得，由及正弦定理得，通分，利用两角和的正弦公式化简/详解：（1）由，得，成等比数列，由余弦定理，得，则，故/（2）由，得，由及正弦定理得，于是/点睛：对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件/另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用/16/如图，在四棱柱中，已知平面平面，且，（1）求证：；（2）若为棱的中点，求证：平面【答案】（1）证明过程如解析；（2）证明过程如解析【解析】【试题分析】（1）依据题设条件先运用线面垂直的判定定理证明平面，再运用线面垂直的性质定理证明（2）先借助题设条件证明，再运用线面平行的判定定理证明平面：证明：（1）在四边形中，因为，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以（2）在三角形中，因为，且为中点，所以，又因为在四边形中，所以，所以，所以，因为平面平面，所以平面17/ 某个公园有个池塘，其形状为直角ABC，C=90，AB=2百米，BC=1百米(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图(1)，使得EFAB，EFED，在DEF喂食，求DEF 面积SDEF的最大值；(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图(2)，建造DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF为正三角形，求DEF边长的最小值【答案】（1）；（2）百米【解析】试题分析：（1）求DEF 面积SDEF的最大值，先把DEF 面积用一个参数表示出来，由于它是直角三角形，故只要求出两直角边DE和EF，直角ABC中，可得，由于EFAB，EFED，那么有，因此我们可用CE来表示FE，DE从而把SDEF表示为CE的函数，然后利用函数的知识（或不等式知识）求出最大值；（2）等边DEF可由两边EFED及确定，我们设，想办法也把与一个参数建立关系式，关键是选取什么为参数，由于等边DEF位置不确定，我们可选取为参数，建立起与的关系，则，中应用正弦定理可建立所需要的等量关系试题解析：（1）中，百米，百米，可得，设，则米，中，米，C到EF的距离米，C到AB的距离为米，点D到EF的距离为米，可得，当且仅当时等号成立，当时，即E为AB中点时，的最大值为 7分（2）设正的边长为，则，设，可得，在中，即，化简得， 12分（其中是满足的锐角），边长最小值为百米 14分考点：（1）面积与基本不等式；（2）边长与三角函数的最值18/已知依次满足（1）求点的轨迹；（2）过点作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，设点的坐标为，是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线都相切，如存在，求出点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由【答案】（1）以原点为圆心，为半径的圆； （2）； （3）存在点，其坐标为或/使得直线与以为圆心的圆相切【解析】【分析】（1）利用表示出，从而得到轨迹方程；（2）利用直线与圆相切得到，将直线方程代入椭圆方程，得到，利用求得，从而得到椭圆方程；（3）利用圆心到直线距离等于半径得到，再利用在椭圆上可以求解出点坐标，从而可求得结果/【详解】（1）设，则 则：代入得：点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆（2）由题意可知直线斜率存在，设直线的方程为 椭圆的方程由与圆相切得： 将代入得：又，可得设， 椭圆方程为：（3）假设存在椭圆上的一点，使得直线与以为圆心的圆相切则到直线的距离相等，又则，则化简整理得：点在椭圆上 解得：或（舍）时， 椭圆上存在点，其坐标为或使得直线与以为圆心的圆相切【点睛】本题考查轨迹方程的求解、直线与椭圆的综合应用、椭圆中的存在性问题/解决存在性问题的常用方法是假定存在后，利用条件得到关于定点的方程，求解方程得到定点的坐标，从而可确定存在/19/已知数列满足：（为常数），数列中，。求；证明：数列为等差数列；求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。【答案】（1），； （2）见解析；（3）见解析/【解析】【分析】（1）依次将代入通项公式求得结果；（2）根据的通项公式表示出和，可证得，从而证得结论；（3）假设三项为，根据等比的关系求得，可知时不合题意；当时，可知为有理数/【详解】由已知，得，又数列是首项为，公差为的等差数列证明：由知若三个不同的项成等比数列，、为非负整数，且，则：，得若，则，得，这与矛盾。若，则、为非负整数 是有理数【点睛】本题考查等差、等比数列的综合应用问题，证明数列为等差数列的关键是满足定义的形式，证得后项与前项之差为常数即可/20/已知函数，设直线分别是曲线的两条不同的切线；（1）若函数为奇函数，且当时，有极小值为；求的值；若直线亦与曲线相切，且三条不同的直线交于点 ，求实数的取值范围；（2）若直线，直线与曲线切于点B且交曲线于点D，直线与曲线切于点且交曲线于点A，记点 的横坐标分别为，求的值【答案】（1） ； ； （2）/【解析】【分析】（1）根据奇函数和求得；又，求得和；假设切点和切线方程，根据极大值点为可确定一条切线为；将代入切线方程可得：和，从而可得的两根为，构造函数，结合图像求得的范围；（2）根据可得，从而；将切线代入求解出，从而得到/【详解】（1） 是奇函数，且且，即 而当时有极小值 经检验满足题意，则 设是曲线上的一点由知：，过点的切线方程为：消去即得：由此切线方程形式可知：过某一点的切线最多有三条；又由奇函数性质可知：点是极大值点从而是一条切线且过点再设另两条切线的切点为、，其中则可令切线，将代入的方程中化简可得：且从而有：且是方程的两根构造函数：由得：或而，结合图象：可得：实数的取值范围是：（2）令，；由及可得：而，化简可得：，即将切线的方程代入中并化简得：，即；同理：则，【点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的综合应用问题，在解题过程中需要利用导数值即为切线的斜率写出函数的切线方程，根据不同条件要求进行变量之间的互化；解题关键是将切线条数问题转化为方程根的个数问题，利用构造函数的方式结合函数图像求得结果/本题对学生转化与划归思想和计算能力有较高的要求/ 数学(附加题)本卷共4小题，每小题10分，共计40分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21/已知矩阵的一个特征值是，求矩阵的另一个特征值，及属于的一个特征向量。【答案】另一个特征值为；特征向量【解析】【分析】根据特征多项式求得，从而求得另一个特征值；解方程组求得特征向量/【详解】矩阵的特征多项式是由得令，则或解方程组可得一组不为零的解是所以矩阵的另一个特征值是，属于的一个特征向量是【点睛】本题考查矩阵的特征值和特征向量问题，属于基础题/22/已知曲线的参数方程为（为参数），曲线在点处的切线为/以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程/【答案】【解析】试题分析：根据题意，先将所给极坐标方程转化为直角坐标方程，即得曲线：，由圆的切线的求法易得切线为的方程为：，再由直角坐标转化为极坐标公式，即可求得切线为的极坐标方程/由题意，得曲线：，切线为的斜率，切线为的方程为：，即，切线为的极坐标方程：/ 10分考点：1/极坐标与直角坐标的互化/2/圆的切线方程23/已知均为正数，且，求的最小值，并指出取得最小值时的值【答案】最小值是， 此时/【解析】【分析】构造出，从而得到所求最值，利用取等条件求得/【详解】因为，所以因为为正数，所以由柯西不等式得：当且仅当等式成立所以，所以的最小值是此时【点睛】本题考查柯西不等式求最值问题，属于基础题/24/已知直三棱柱中，为等边三角形，延长至，使，连接，若（1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面所成的锐二面角【答案】（1）； （2）/【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据可得和的长度关系，从而可用表示出平面的法向量，然后利用线面角的向量求法得到结果；（2）求解出平面的法向量，利用法向量夹角求得结果/【详解】连结交于点，则面以的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设所以，若，则所以 设面的法向量为，所以又因为，即 又因为，设直线与平面所成角为所以所以，直线与平面所成角的正弦值为（2）因为，设面的法向量为，所以即 所以所以，面与面所成的锐角二面角为【点睛】本题考查利用空间向量法求解立体几何中的线面角和二面角问题，属于常规题型/25/在教材中，我们已研究出如下结论：平面内条直线最多可将平面分成个部分现探究：空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，设空间内个平面最多可将空间分成个部分（1）求的值；（
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