1、2002 年第5 期 九江师专学报 ( 自然科学版)总第 118 期 No15/ 2002 Journal of Jiujiang Teacher ps College ( Natural Science)Sum No1118 用数学归纳法推导质心公式 张孟忠 ( 九江师专物理系 江西九江 332000) 质心是物理学中一个重要概念/ 它是质点系质量的等效中心/对于平动而言可把整个系 统的质量看作集中在质心这点来分析/在一般的物理学课本中/ 通常直接给出质心的位置矢 量公式 rc= Emiri Emi /而没有推导过程/给学生理解公式带来一定困难/本文给出一种直观的 推导质心公式的方法供参考。
2、 1 质心位置的确定和满足的条件 假如一细棒放在光滑的水平面上/给它一个作用力/它将在平面上边滑动/ 边转动。如 果力作用在某点上/棒将只滑动/而不转动/这一点就是质心位置。对于两个质量为 m1/ m2的质点/它们的质心必然在两质点连线上/我们假如把一个质量可忽略不计的刚性细杆 连接两质点/ 做上述实验/ 结果表明质心位置满足m1x1= m2x2 如图p - - - - - - - p - - - - - - - p x1 2c x2 m1 m2c m2 2c 表示质心位置/对于三个质点 m1/ m2/ m3组成质点系/ 它们的质心可以这样来确定/ 把 m1/ m2的质量看作集中在它们的质心
3、m2c 上/由m2c( m1+ m2) 和 m3组成的质心 m3c就是三个质点的质心。 如图 ( 一) 图 ( 一) 46 收稿日期/ 2002) 4) 22 如果用质量可以忽略不计的细杆如图 ( 一) 连接/敲击 m3c 处/质点系将产生平动而不转 动/实验结果满足 m2cx3= m3x4 (m1+ m2) x3= m3x4 2、质心公式的推导 如图 ( 二) 图 ( 二) 在直角坐标系中/ 有 n 个质点组成的质点系/质点 m1/m2/mn的位置矢量为 r1/r2/ rn。 设m1/m2两质点的质心在 m2c/ 位矢为 r2c/ 由前面可知存在 m1( r2c- r1) = m2( r2-
4、 r2c) (m1+ m2) r2c= m1r1+ m2r2 r2c= m1r1+ m2r2 m1+ m2 设m1/ m2/ m3的质心在m3c/位矢为 r3c/显然存在/ m2c( r3c- r2c) = m3( r3- r3c) (m2c+ m3) r3c= m2cr2c+ m3r3 (m1+ m2+ m3) r3c= m1r1+ m2r2+ m3r3 r3c= m1r1+ m2r2+ m3r3 m1+ m2+ m3 设 ( n- 1) 个质点的质点系的质心满足 (m1+ m2+ /mn- 1) r( n- 1)c= m1r1+ m2r2+ /mn- 1rn- 1 对于 n 个质点的质点系
5、的质心/可把前 ( n- 1) 个质点的质量看作集中在 m ( n- 1) c 上/ m ( n- 1) c= m1+ m2+ /+ m( n- 1)/由 m( n- 1)c 与 mn组成的质心即为整个系统的质心。 显然有m( n- 1) c( rnc- r( n- 1) c) = mn( rn- rnc) (m( n- 1)c+ mn) rnc= m( n- 1)c r ( n- 1) c+ mnrn (m1+ m2+ /+ m( n- 1)+ mn) rnc= m1r1+ m2r2/m( n- 1)r( n- 1)+ mnrn rnc= m1r1+ m2r2+ /+ mnrn m1+ m2+
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