2/ 3/1离散型随机变量的期望【教学目标】1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望理解公式“E（a+b）=aE+b”，以及“若(n，p)，则E=np”/能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望【教学重难点】教学重点：离散型随机变量的期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望【教学过程】一、复习引入：1/随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母、等表示2/ 离散型随机变量/对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3连续型随机变量/ 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4/离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系/ 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若是随机变量，是常数，则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型） 5/ 分布列/设离散型随机变量可能取得值为x1，x2，x3，取每一个值xi（i=1，2，）的概率为，则称表x1x2xiPP1P2Pi为随机变量的概率分布，简称的分布列 6/ 分布列的两个性质： Pi0，i1，2，； P1+P2+=17/离散型随机变量的二项分布/在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次***重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次***重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k0/1/2/，n，）于是得到随机变量的概率分布如下：01knP称这样的随机变量服从二项分布，记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记b(k；n，p)二、讲解新课合作探究一：期望的定义某商场要将单价分别为18，24，36的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？1上述问题如何解决？为什么？2如果混合糖果中每颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗?混合糖果中每颗糖果的质量都相等，在混合糖果中任取一粒糖果，它的单价为18，24或36的概率分别为，和，若用表示这颗糖果的价格，则每千克混合糖果的合理价格表示为18P（=18）+24P（=24）+36P（=36）概念形成一般地/若离散型随机变量的概率分布为则称为的数学期望或均值/数学期望又简称为期望。合作探究二：你能用文字语言描述期望公式吗？E=+即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。即学即练/ 练习1：离散型随机变量的概率分布1100P0/010/99求的期望。练习2：随机抛掷一个***，求所得***的点数的期望。练习3/篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0/7，求他罚球一次得分的期望答案：99/01：3/5；0/7合作探究三/若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，你能求出 ？吗？x1x2xnPp1p2pn于是 ) ，即学即练：1、随机变量的分布列是135P0/50/30/2(1)则E= ？ / (2)若=2+1，则E= ？ 答案：2/4，5/8熟记若(n，p)，则E=np 例1 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0/9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解析：甲乙两生答对的题目数这个随机变量是20次实验中“答对”这个事件发生的次数k，服从二项分布。解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则 B（20/0/9）/ 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：点评：分数与答对个数之间呈一次函数关系，故应用到“E（a+b）=aE+b”，这个公式。思考/学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么? 不一定/其含义是在多次类似的测试中/他的平均成绩大约是90分即学即练：在数字传输通道中，发生一个错误的概率是0/2（p），当然，每次传输试验***。令 X 为在每10位传输中（n）发生错误的位数，求 X的数学期望。答案：2例2见课本例3即学即练：统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？解/因为商场内的促销活动可获效益2万元设商场外的促销活动可获效益x万元/则x的分布列x104P0/60/4所以Ex=100/6(-4) 0/4=4/4因为4/42/ 所以商场应选择在商场外进行促销/四、课堂练习：1/ 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）A4；B5；C4/5；D4/752/ 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0/7，求他罚球1次的得分的数学期望；他罚球2次的得分的数学期望；他罚球3次的得分的数学期望答案：1/C20/7 1/4 2/1/归纳总结 ：求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E；若B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可课后练习与提高1/若随机变量X的分布列如下表，则EX等于：（ ）X012345P2x3x7x2x3xxA1/18 B/1/9 C/20/9 D/9/202/随机变量X的分布列为X124P0/40/30/33/两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望EX=_/4/(2009 广东佛山模拟)在一次语文测试中，有道把我国四大文学名著水浒传、三国演义、西游记、红楼梦与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，一位同学该题的X分。（1）求该同学得分不少于6分的概率；（2）求X的分布列及数学期望。答案：1/C 2/A 3/2/3 4/（1）7/24（2） EX=3X03612P3/81/31/41/242/3/1离散型随机变量的期望课前预习学案一、预习目标1/了解离散型随机变量的期望定义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望2/理解公式“E（a+b）=aE+b”，熟记若(n，p)，则E=np”/能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望1/数学期望/ 一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 _ 为的数学期望，简称_2/ 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了_3/ 平均数、均值/一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有，所以的数学期望又称为_4/ 期望的一个性质/若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，它们的分布列为x1x2xnPp1p2pn_5/若(n，p)，则E=_三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容 课内探究学案学习目标：1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望理解公式“E（a+b）=aE+b”，以及“若(n，p)，则E=np”/能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望学习重点：离散型随机变量的期望的概念学习难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望学习过程：一、复习引入：1/随机变量：如果随机试验的结果_，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用_等表示2/ 离散型随机变量/对于随机变量可能取的值，可以_，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3连续型随机变量/ 对于随机变量可能取的值，可以_，这样的变量就叫做连续型随机变量4/离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系/ 离散型随机变量与连续型随机变量都是_；但是离散型随机变量的结果可以按_，而连续性随机变量的结果_若是随机变量，是常数，则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型） 5/ 分布列/设离散型随机变量可能取得值为x1，x2，x3，取每一个值xi（i=1，2，）的概率为，则称表x1x2xiPP1P2 Pi为随机变量的概率分布，简称的分布列 6/ 分布列的两个性质： _； _7/离散型随机变量的二项分布/在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次***重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次***重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是_，（k0/1/2/，n，）于是得到随机变量的概率分布如下：01knP称这样的随机变量服从_，记作B(n，p)，其中n，p为参数，并记 合作探究一：期望定义某商场要将单价分别为18，24，36的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？1上述问题如何解决？为什么2如果混合糖果中每颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗?二概念形成一般地/若离散型随机变量的概率分布为则称_为的数学期望或均值/数学期望又简称为_合作探究二：你能用文字语言描述期望公式吗？E=+即：_即学即练/ 练习1：离散型随机变量的概率分布1100P0/010/99求的期望。练习2：随机抛掷一个***，求所得***的点数的期望。练习3/篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0/7，求他罚球一次得分的期望答案：99/01：3/5；0/7合作探究三/若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，你能求出 _吗？即学即练：1、随机变量的分布列是135P0/50/30/2（1）则E= _ / （2）若=2+1，则E=_ 答案：2/4，5/8熟记若(n，p)，则E=np 例1 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0/9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解析：甲乙两生答对的题目数这个随机变量是20次实验中“答对”这个事件发生的次数k，服从二项分布。解：点评：分数与答对个数之间呈一次函数关系，故应用到“E（a+b）=aE+b”，这个公式。思考/学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么? 即学即练：在数字传输通道中，发生一个错误的概率是0/2（p），当然，每次传输试验***。令 X 为在每10位传输中（n）发生错误的位数，求 X的数学期望。答案：2例2见课本例三即学即练：统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？解析：损失4万元即收益为 4万元。解：四、课堂练习：1/ 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（ ）A4；B5；C4/5；D4/752/ 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0/7，求他罚球1次的得分的数学期望；他罚球2次的得分的数学期望；他罚球3次的得分的数学期望答案：1/C20/7 1/4 2/1/归纳总结 ：求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E；若B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可课后练习与提高1/若随机变量X的分布列如下表，则EX等于：（ ）X012345P2x3x7x2x3xxA1/18 B/1/9 C/20/9 D/9/202/随机变量X的分布列为X124P0/40/30/33/两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望EX=_/4/(2009 广东佛山模拟)在一次语文测试中，有道把我国四大文学名著水浒传、三国演义、西游记、红楼梦与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，一位同学该题的X分。（1）求该同学得分不少于6分的概率；（2）求X的分布列及数学期望。答案：1/C 2/A 3/2/3 4/（1）7/24（2） EX=3X03612P3/81/31/41/242/3/2离散型随机变量的方差【教学目标】1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差2/了解方差公式“D(a+b)=a2D”，以及“若(n，p)，则D=np(1p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 【教学重点】离散型随机变量的方差、标准差【教学难点】比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题【教学过程】一、前置测评：1/数学期望/ 一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称 为的数学期望，简称期望2/ 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3 平均数、均值/在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有，所以的数学期望又称为平均数、均值 4/ 期望的一个性质/ 5/若(n，p)，则E=np 二、讲解新课：问题探究： 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下/x18910P0/20/60/2x28910P0/40/20/4试比较两名射手的射击水平/ /下面的分析对吗？甲、乙两射手的射击水平相同/ （你赞成吗？为什么？）显然两名选手的水平是不同的/这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性/样本方差的公式及作用是什么，你能类比这个概念得出随机变量的方差吗？1/方差/ 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值，是，且取这些值的概率分别是，那么/ 称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望2/ 标准差/的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作注：方差与标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。即学即练：1/(课本第66页例4)随机抛掷一枚质地均匀的***，求向上一面的点数X的均值，方差和标准差。 2/若随机变量x满足P（xc）1，其中c为常数，求Ex和Dx/答案：（1）3/5；2/92；1/71(2)c/03/刚才问题再思考：其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？，如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？解/ 甲、乙两射手的射击平均水平相同/又0/4/ 0/8/甲射击水平更稳定/如果对手在8环左右/派甲/ 如果对手在9环左右/派乙/方差的性质（1）；（2）；（3）若B(n，p)，则np(1-p) （4）若服从两点分布，则p(1-p) 即学即练已知xB(100/0/5)/则Ex=_/Dx=_/sx=_/ E(2x-1)=_/ D(2x-1)=_/ s(2x-1)=_答案50；25；5；99；100；10甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10/40/30/20/1例题/有甲乙两个单位都愿意聘用你/而你能获得如下信息：乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20/40/30/20/1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：在两个单位工资的数学期望相等的情况下/如果认为自己能力很强/应选择工资方差大的单位/即乙单位/如果认为自己能力不强/就应选择工资方差小的单位/即甲单位/即学即练甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为x/h，其分布列为x 0 1 2 3 h 0 1 2 P0/10/50/4判断甲乙两人生产水平的高低？答案：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高 /归纳总结：1随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；2随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛4求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E；根据方差、标准差的定义求出、/若B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可5对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要课堂练习：已知，则的值分别是（ ）A；B；C；D 答案：1/D 2/ 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，求E，D答案：2；1/98/3/ 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数的方差不超过1/44/已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互***的随机变量和，已知和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高）123 pa0/10/6123p0/3b0/3试分析甲、乙技术状况答案：1/D2/2；1/98/课后练习与提高1甲、乙两个运动员射击命中环数X、Y的分布列如下：环数k8910P(X=k)0/30/20/5P(Y=k)0/20/40/4其中射击比较稳定的运动员是（ ）A甲 B/乙 C/一样 D/无法比较2/设随机变量XB（n，p），且EX=1/6，DX=1/28，则（ ）A/n=8/p=0/2 B/n=4/p=0/4C/n=5/p=0/32 D/n=7/p=0/453/（2008 高考宁夏、海南卷）AB两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0/80/2X22%8%12%P0/20/50/3（1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1和DY2；（2）将x（0x100）万元投资A项目，100-x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值。（注：D（aX+b）=a2DX）答案：1/B 2/A 3/(1)4/12 (2)x=75时，f（x）=32/3/2离散型随机变量的方差课前预习学案一、预习目标了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差2/了解方差公式“D(a+b)=a2D”，以及“若(n，p)，则D=np(1p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 二、预习内容1、 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值，是，且取这些值的概率分别是，那么/ _称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望2、标准差/ _叫做随机变量的标准差，记作_注：方差与标准差都是反映_它们的值越小，则_小，即越集中于均值。三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差2/了解方差公式“D(a+b)=a2D”，以及“若(n，p)，则D=np(1p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 学习重难点：离散型随机变量的方差、标准差；比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题二、学习过程问题探究： 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下x18910P0/20/60/2x28910P0/40/20/4 试比较两名射手的射击水平/ / 合作探究一：方差的概念 显然两名选手的水平是不同的/这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性/样本方差的公式及作用是什么，你能类比这个概念得出随机变量的方差吗？ 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值，是，且取这些值的概率分别是，那么/ _称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望标准差/ _做随机变量的标准差，记作_注：方差与标准差都是反映_它们的值越小，则_小。 即学即练：1/(课本第66页例4)随机抛掷一枚质地均匀的***，求向上一面的点数X的均值，方差和标准差。 2/若随机变量x满足P（xc）1，其中c为常数，求Ex和Dx/3/刚才问题再思考：其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？，如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？答案：（1）3/5；2/92；1/71(2)c/0（3）如果对手在8环左右/派甲/ 如果对手在9环左右/派乙/熟记结论：/方差的性质（1）；（2）；（3）若B(n，p)，则np(1-p) （4）若服从两点分布，则p(1-p) （即学即练：已知xB(100/0/5)/则Ex=_/Dx=_/sx=_/ E(2x-1)=_/ D(2x-1)=_/ s(2x-1)=_答案50；25；5；99；100；10例2/有甲乙两个单位都愿意聘用你/而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10/40/30/20/1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20/40/30/20/1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解析/先求期望，看期望是否相等，在两个单位工资的数学期望相等的情况下，再算方差，/如果认为自己能力很强/应选择工资方差大的单位//如果认为自己能力不强/就应选择工资方差小的单位/即学即练甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为x/h，其分布列为x 0 1 2 3 h 0 1 2 P0/10/50/4判断甲乙两人生产水平的高低？答案：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高 /归纳总结：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用
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