2 导数的概念及其几何意义 导数的概念在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在关系h(t)4/9t26/5t10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度，通过平均速度来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度问题1：怎么求运动员在t0时刻的瞬时速度？提示：先求运动员在(t0，t0t)间平均速度，当t趋于0时，平均速度就趋于运动员在t0时刻的瞬时速度问题2：当x趋于0时，函数f(x)在(x0，x0x)上的平均变化率即为函数f(x)在x0处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？提示：当x趋于0时，x0x就无限接近于点x0，这样(x0，x0x)上的平均变化率就可以看作点x0处的瞬时变化率问题3：函数f(x)在x0点的瞬时变化率叫什么？提示：函数f(x)在x0点的导数导数的定义函数yf(x)在x0点的瞬时变化率是函数yf(x)在x0点的导数用符号f(x0)表示，记作：f(x0)li li /导数的几何意义在函数yf(x)的图像上任取两点A(x1，f(x1)，B(x1x，f(x1x)问题1：是函数f(x)在(x1，x1x)上的平均变化率，有什么几何意义？提示：函数yf(x)图像上A，B两点连线的斜率问题2：x趋于0时，函数yf(x)在(x1，x1x)上的平均变化率即为函数yf(x)在x1点的瞬时变化率，能否看成函数yf(x)在(x1，f(x1)处的切线斜率？提示：能问题3：函数yf(x)在x0处的导数的几何意义是什么？提示：函数yf(x)图像上点(x0，f(x0)处的切线斜率导数的几何意义函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率1函数yf(x)在某点处的瞬时变化率就是函数在该点处的导数2导数的几何意义就是曲线上某点处的切线的斜率 导数的概念及应用例1建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，yf(x)0/3，求f(100)，并解释它的实际意义思路点拨精解详析当x从100变为100x时，函数值y关于x的平均变化率为当x趋于100时，即x趋于0时，平均变化率趋于0/105，即f(100)0/105，f(100)0/105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元一点通利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤：第一步，求函数的增加量yf(x0x)f(x0)；第二步，求平均变化率：；第三步，求f(x0) /1/已知函数yf(x)的图像如图所示，设函数yf(x)从1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小 关系为()Av1v2Bv1v2Cv1v2 D不能确定解析：记v1tan 1，v2tan 2，易知12，所以v1v2/答案：C2已知函数f(x)x21，则f(1)_/解析：yf(1x)f(1)(1x)211212x(x)2，2x，f(1) (2x)2/答案：23一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是m，t的单位是s，求物体在3 s末的瞬时速度解：物体在3 s末的瞬时速度，即求物体在t3时的导数t5，函数在t3处的瞬时速度为s(3) (t5)5，即物体在3 s末的瞬时速度为5 m/s/求曲线的切线方程例2求曲线f(x)在点(2，1)处的切线方程思路点拨函数f(x)在x2时的导数即为点(2，1)处切线的斜率，故可先求f(2)，再求曲线的切线方程精解详析由导数的几何意义，曲线在点(2，1)处的切线的斜率就等于函数f(x)在点(2，1)处的导数而f(2) ，故曲线在点(2，1)处的切线方程为y1(x2)，整理得x2y40/一点通利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f(x0)(xx0)4曲线yx2x1在点(1/1)处切线的倾斜角为()A/B/C/D/解析：f(1) (1x)1，设切线的倾斜角为，则tan 1，/答案：A5求曲线yx2在点Q(2/1)处的切线方程解：f(2) 1，过点(2/1)的切线方程为：y11(x2)，即xy10/求切点坐标例3直线l：yxa(a0)和曲线C：yf(x)x3x21相切，求a的值及切点的坐标思路点拨由导数的几何意义，切点处的切线为l：yxa，可建立切线斜率的一个方程，从而求解切点坐标及a/精解详析设直线l与曲线C相切于P(x0，y0)点f(x0) 3x2x0/由题意知，3x2x01，解得x0或x01/于是切点的坐标为或(1/1)当切点为时，a，a；当切点为(1/1)时，11a，a0(舍去)a的值为，切点坐标为/一点通求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切点在曲线上，可得切点的纵坐标6抛物线yx2上某点处的切线平行于直线y4x1，则切点坐标为_解析：设切点为(x0，x)，则f(x0) (2x0x)2x0，2x04，x02，切点为(2/4)答案：(2/4)7若曲线yx2x3的一条切线与直线yx1垂直，求切点坐标解：设切点为(x0，y0)，则f(x0)即为切线的斜率f(x0) (2x01)x2x01/即切线斜率k2x01，又切线与直线yx1垂直，2x011，x00，y03/故切点为(0/3)8求过点(0，1)且与yx2相切的直线方程解：(0，1)不在曲线yx2上，故(0，1)不是切点设切点为(x0，x)，则f(x0) (x2x0)2x0，故切线的斜率k2x0/又切线过点(0，1)k，则2x0，解得x01，当x01时，k2，切线方程为y2x1，即2xy10/当x01时，k2，切线方程为y2x1，即2xy10/函数yf(x)在x0处的导数即为该点处切线的斜率，由导数的几何意义求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点 1若函数yf(x)在x1处的导数为1，则 等于()A2B1C/ D/解析： f(1)1/答案：B2设函数f(x)axb，若f(1)f(1)2，则f(2)等于()A1 B2C4 D6解析：可得f(1) a，又f(1)2，得a2，而f(1)2，故ab2，即b0，所以f(x)2x，有f(2)4/答案：C3/已知函数yf(x)的图像如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定解析：f(xA)与f(xB)分别为A，B处切线的斜率，设A，B处切线的倾斜角分别为，则/tan tan 即f(xA)f(xB)答案：B4已知曲线f(x)和点M(1，2)，则曲线在点M处的切线方程为()Ay2x4 By2x4Cy2x4 Dy2x4解析：，当x0时，f(1)2，即k2/直线方程为y22(x1)，即y2x4/答案：C5若函数yf(x)在点(4/3)处的切线与直线x2y10平行，则f(4)_/解析：因为直线x2y10的斜率k，所以f(4)/答案：6一运动物体的运动方程为s(t)3tt2(位移单位：m，时间单位：s)，则该物体的初速度是_解析：物体的初速度即为t0时的瞬时速度，s(0) (3t)3/答案：37已知函
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