二 用数学归纳法证明不等式举例/学生用书P60)A基础达标1用数学归纳法证明不等式1成立时，起始值n0至少应取()A7B8C9 D10解析：选B/1，n16，n7，故n08/2设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出的一般结论为()Af(2n)(n1，nN*)Bf(n2)(n1，nN*)Cf(2n)(n1，nN*)D以上都不对解析：选C/f(2)，f(4)f(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25)，依此类推可知f(2n)(n1，nN*)3观察下列不等式：1，11，1，12，1，由此猜测第n(nN)个不等式为()A1B1C1D1解析：选C/因为1，3，7，15，31，的通项公式为an2n1，所以不等式左边应是1/因为，1，2，的通项公式为bn，所以不等式右边应是/4设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)42，因此对于任意的k4，均有f(k)k2成立5对于正整数n，下列说法不正确的是()A3n12n B0/9n10/1nC0/9n1，且x0，n1，nN)判断当x2时，(12)n12n，A正确当x0/1时，(10/1)n10/1n，B正确，C不正确当x0/9时，(10/9)n10/9n，因此D正确6用数学归纳法证明，假设nk时，不等式成立之后，证明nk1时，应推证的目标不等式是_解析：把nk时的不等式中的k换成k1，得/答案：7在ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立，猜想在n边形A1A2An中，类似成立的不等式为_解析：n3时，不等式为，n4时，不等式为，n5时，不等式为，猜想/答案：8若不等式对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为_解析：令f(n)，易知f(n)是单调递增的所以f(n)的最小值为f(2)/依题意，所以mk3(k1)2，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2/由可知ann2对一切nN*都成立10设aR，f(x)是定义在R上的奇函数(1)求a的值；(2)如果g(n)，试比较f(n)与g(n)的大小(nN)解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，故a1/(2)f(n)g(n)/只要比较2n与2n1的大小当n1，2时，2n2n1，f(n)2n1，f(n)g(n)下面证明，n3时，2n2n1，即f(n)g(n)当n3时，23231，显然成立，假设nk(k3，kN)时，2k2k1，那么nk1时，2k122k2(2k1)2(2k1)2(k1)14k22k32k10(因为k3)，有2k12(k1)1/所以当n1，2时，f(n)g(n)B能力提升1已知xR，不等式x2，x3，可推广为xn1，则a的值为()A2n Bn2C22(n1) Dnn解析：选D/由已知中不等式：x2，xx3，xx4，归纳可得，不等式左边第一项为x，第二项为，右边为n1，故第n个不等式为xn1，故ann，选D/2设a，b均为正实数，nN，已知M(ab)n，Nannan1b，则M，N的大小关系为_(提示：利用贝努利不等式，令x)解析：由贝努利不等式(1x)n1nx(x1，且x0，n1，nN)，当n1时，令x，所以1n，所以1n，即(ab)nannan1b/当n1时，MN，故MN/答案：MN3设xn，yn，n1，2，求证xnxn1，yn1yn/证明：先证xn11，即1，故/故xnxn1/再证yn111，即1，1，即，/故yn1yn/4设数列an满足a10，an1ca1c，nN，其中c为实数(1)证明：an0，1对任意nN成立的充分必要条件是c0，1；(2)设0c，证明：an1(3c)n1，nN/证明：(1)必要性：因为a10，所以a21c/因为a20，1，所以01c1，即c0，1充分性：设c0，1，对nN用数学归纳法证明an0，1当n1时，a100，1假设ak0，1(kN，k1)，则ak1ca1cc1c1，且ak1ca1c1c0，故ak10，1由数学归纳法，知an0，1对所有的nN成立综上，可得an0，1对任意nN成立的充分必要条件是c0，1(2)设0c，当n1时，a10，结论成立当n2时，因为anca1c，所以1anc(1a)c(1an1)(1an1a)因为0
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