1、for personal use only in study and research/ not for commercial use当弦长= 3r 时，弦所对的圆心角=120，一条弦所对的圆周角中，同侧相等，异侧互补。【圆周角定理 1 的理解】同弧所对的圆周角相等；等弧所对的圆心角相等；圆周角的度数等于它所对弧所对圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对弧度数的一半；知识点 1圆的有关概念第五章圆知识要点解析【常作辅助线 2】过圆心向弦作垂线，形成垂径定理的条件，构造直角三角形应用勾股定理进行计算。【常作辅助线 3】利用直径，构造直角。4/（2008 白银）高速公路的隧道和桥梁最多如图/4 是一
2、个隧道的横截面，若它的形状是以 o 为圆心的圆的一部（1） 圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。等圆或同圆的半径都相等。分，路面 ab =10 米，净高cd =7 米，则此圆的半径oa =（）（2） 弦：圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。a5b7c 37d 37（3） 弧：圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）（4） 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。（5） 经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。【常作辅助线 1】连接圆心和圆上的点，形成半径。c5c7 odoabmn1（2006玉林市、防城港市）如图 1，四边形 p
3、aob 是扇形omn 的内接矩形，顶点 p 在上，且不与mnm， n 重合，当 p 点在 上移动时，矩形 paob 的形状、大小随之变化，则 ab 的长度（）adb图 4图 5图 6图 7图 8变大变小不变不能确定5/（2007 连云港）如图 5，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心o ，则折痕 ab 的长为（）ob bocdb 3 cmdca 2 cmc 2 3 cmd 2 5 cmaae6/ 已知o 的半径为 r，弦 ab 的长也是 r，则aob 的度数是7/（2008 黄石）如图 6， ab 为o 的直径，点c，d 在o 上， bac = 50o ，则adc =8/ （2
4、010 湖北黄石）如图 7，o 中，oabc/aob60/则adc/图 2图 1图 3man9/（2010 黄冈）如图 8，o 中，的度数为 320，则圆周角man 2（2010 江苏扬州）如图 2，ab 为o 直径，点 c、d 在o 上，已知boc70，adoc，则aod3如图 3，ab 是o 的直径，cd 是o 的弦，ab 与 cd 的延长线交于点 e ，且 ab2de，e18，求aoc 的度数。知识点 2圆的有关性质（1） 圆是中心对称图形，也是轴对称图形。(2) 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。(
5、3) 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。(4) 圆周角的性质： 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。【解题方法 1】半径、弦长、***高、圆心到弦的距离这四个量的关系是只要知道其中的两个就能求出另两个。10/ 如图 9，在abc 中，adbc 于 d，以 ae 为直径画圆，经过点 b、c，求证：bae=cad图 9h图 10m11(2009 年温州)如图 10，已知正方形纸片 abcd 的边长为 8，0 的半径为 2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使 ea恰好与0 相切于点 a (efa与0
6、 除切点外无重叠部分)，延长 fa交 cd 边于点 g，则 ag 的长是 知识点 3与圆有关的位置关系（1） 点与圆的位置关系：圆的半径为 r /点到圆心的距离为 d点在圆内 d r（2） 直线与圆的位置关系圆的半径为 r /直线到圆的距离为 d【解题方法 2】当弦长=r 时，弦所对的圆心角=60/ 当弦长= 2r 时，弦所对的圆心角=90直线与圆相交点在圆内 d r 直线与圆相切点在圆内 d r（1） 圆与圆的位置关系两圆外离 d r + r 两圆外切 d = r + r 两圆相交 r - r d r + r 两圆内切 d = r - r 两圆内含 0 d r - r（2） 切线的性质：圆的
7、切线垂直于过切点的半径。（3） 切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。（4） 切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。（5） 切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。（6） 三角形的内心：是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。【解题方法 3】证切线的两种方法：当直线与圆有交点字母时，连接，证垂直当直线与圆无交点字母时，作垂直，证 d = r【解题方法 4】求线段的长：把要求的线段放进一个已知一边长的中，再找一个已知三边长的，证相似，运用比例线段计算。17如图15，abc中， i为内心，ai交边
8、bc于点d，交abc的外接圆于点e，连结be，试说明： aidbe=ec=ie。bce图 15【常作辅助线 4】连接圆心和切点得垂直。18（2010 湖南长沙）已知o 、o 的半径分别是 r = 2 、 r = 4 ，若两圆相交，则圆心距 o o 可能取的值是（【常作辅助线 5】当直径垂直于圆内一条不是弦的线段时，延长该线段与圆相交，形成直径垂直于弦。【常作辅助线 6】遇三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点，形成角平分线。）12121 2a、2b、4c、6d、812（2006邵阳市）已知o 的半径为 3cm，点 p 是直线 l 上一点，op 长为 5cm，则直线 l 与o 的位置关系为（）a
9、/ 相交b/ 相切c/ 相离d/ 相交、相切、相离都有可能dob13（2010 山东淄博）如图 11，d 是半径为 r 的o 上一点，过点 d 作o 的切线交直径ab 的延长线于点 c，下列四个条件：adcd；a30；adc120；3dcr其中/使得 bcr 的有（）ac知识点 4圆中的计算npr（1） 弧长公式： l =2180npr（2） 扇形面积： s =360或 s =1 lr2ab。c。d。14（2009 仙桃）如图 12，ab 为o 的直径，d 是o 上的一点，过 o 点作 ab 的垂线交 ad 于点 e，交 bd 的延长线于点 c，f 为 ce 上一点，且 fdfe(1) 请探究
10、 fd 与o 的位置关系，并说明理由；图 11（3） 圆锥的侧面积： s侧 = prl （指底面圆的半径，l 指母线长）【解题方法 5】在扇形中，弧长、半径、圆心角、面积四个量中只要已知两个量就能求出其余两个。【解题方法 6】在圆锥的侧面展开图中，底面圆周长等于扇形弧长。19（2006宿迁市）如图 16，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型若圆的半径为 r，扇形的半径为 r，扇形的圆心角等于 120，则 r 与r 之间的关系是（3(2) 若o 的半径为 2，bd，求 bc 的长）3abar2rbrrcr3rdr4rcfdeo图 1215/ 如图 13，p 是bac 的
11、平分线上一点，pdac，垂足为 d/ ab 与以 p 为圆心、pd 为半径的圆相切吗？为什么？b20/ 一个扇形的圆心角为 90半径为 2，则这个扇形的弧长为 (结果保留p)图 16pdc321/（2010 浙江宁波）如图 17，ab 是o 的直径，弦 de 垂直平分半径 oa，c 为垂足，弦 df 与半径 ob 相交于点a图 13p，连结 ef、eo，若 de= 2(1) 求o 的半径；(2) 求图中***影部分的面积/，dpa=45/16/ 已知如图 14，abc 内接于o，ad 是o 的直径，cead，点 e 为垂足，ce 的延长线交 ab 于点abaofebcf。求证： ac2 = ab
12、afdcopfe图 17d图 14仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。for personal use only in study and research/ not for commercial use/nur fr den persnlichen fr studien/ forschung/ zu kommerziellen zwecken verwendet werden/ pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles/ pas des fins commerciales/ / / /以下无正文“”“”at
13、 the end/ xiao bian gives you a passage/ minand once said/ people who learn to learn are very happy people/ in every wonderful life/ learning is an eternal theme/ as a professional clerical and teaching position/ i understand the importance of continuous learning/ life is diligent/ nothing can be gained/ only continuous learning can achieve better self/ only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge/ can employees from all walks of life keep up with the pac
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