1、参考书： 1 / / / 计算机数值方法/ 第一版/ 北京：高等教育出版社， 1999/ 2 / / / / 数值分析原理/ 第一版/ 北京：科学出版社，2003/ 3 / 科学计算概论/ 第一版/ 北京：科学出版社/ 2007/ 4 Rainer Kress/ Numerical Analysis/ New York/ Springer-Verlag/ 2003//数值分析绪论/1/PPT学习交流/实际问题/建立数学模型/求解计算/应用于实践/抽象/简化/否/结束/解释 实际问题/类型/方法/是/结果分析/2/PPT学习交流/数值分析研究的主要内容/是各类数学问题的近似解法数值方法/ 是从数
2、学模型(由实际问题产生的一组解析表达式或原始数据)出发/ 寻求在有限步内可以获得数学问题满足一定精度近似解的运算规则/ 这种规则称为算法/ 它包括计算公式/ 计算方案和整个计算过程/ 这是一门与计算机紧密结合/ 实用性很强的数学课程//3/PPT学习交流/1/ 可行性/ 它只能包括计算机能够直接处理的加、减、乘、除和逻辑运算/ 以及计算机的内部函数/ 并能够在有限步结束/ 2/ 可靠性/ 它应该有数学理论分析的支持/包括误差分析、收敛性分析、数值稳定性分析等/ 使得近似解与精确解的误差可以任意地小/ 3/ 高效性/ 它应该具有计算量小、占用存储单元少、计算过程简单、规律性强等优点//算法应具有
3、的特点//4/PPT学习交流/数值分析课程主要介绍几类数学问题的经典算法/ 在学习中既要重视实际应用/ 又要重视有关理论/ 必须注意理解算法的设计原理和处理技巧/ 重视基本概念和理论误差分析/ 收敛性与稳定性/ 认真完成习题中的理论证明和计算方面的相关问题/ 手算与上机计算相结合/ 同时注意培养利用计算机进行科学计算的能力//数值计算方法涉及的基础数学课程较多/ 但在本课程中主要涉及微积分、线性代数、常微分方程等数学知识//5/PPT学习交流/引例 例1/ y = arctan5430 arctan5429的准确值为/ 0/339219 0/339107/第一章 引论/例2/ 计算下面积分的值
4、( n = 0/ 1/ 2/ )//积分In的值必定落在区间0/ 1内/ 我们由被积函数及其图形作出判断//但是/ 用具有八位舍入功能的计算器直接计算得 y 1/5706122 1/5706121 = 0/ = 1107/所得计算结果的可靠性值得怀疑/ 这一结果的产生是由于四舍五入造成的//6/PPT学习交流/由分部积分法可得//如果取 I0 = 1e1 = 0/63212056 (八位有效数字)//n=1/2/4/6/ 8/10/15/利用递推公式进行计算得//7/PPT学习交流/例3/ 对于一元二次方程 x2 (109+1)x+109= 0 有两个精确的实根/ x1= 109/ x2= 1
5、//如果在有仅八位的浮点计算机上用求根公式//其中的x2=0明显失真/ 这也是由于舍入误差造成的//直接进行计算则得/ x1=109/ x2=0//8/PPT学习交流/实际 问题/建立数 学模型/确定计 算方法/编程 上机/由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差/由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差/计算过 程中产 生的舍 入误差/1 误差的来源/9/PPT学习交流/例如用级数/的前三项计算 sinx 的近似值/则截断误差为：/由于计算机的字长有限/ 用0/166667近似表示1/3!/ 就会产生舍入误差//即取/10/PPT学习交流/2 误差的概念/一、绝对误差与绝对误
6、差限 设x*为准确值(也称为真值) x 的一个近似值/ 则称 xx*为近似值 x*的绝对误差/ 简称为误差/ 并记作 e(x*) = xx*。 满足不等式 |e(x*)| = | xx*| *的正数*称为近似值 x*的绝对误差限/ 简称为误差限/ 在工程技术中常记作 x=x*。 例如/ 电压V=1002(V)/ V*=100(V)是V的一个近似值/ 2(V)是V*的一个误差限/ 即 | VV*| 2(V)/11/PPT学习交流/对于两个数值 x1=1002/ x2=101 近似值x1*=100的绝对误差限*(x1*)=2是近似值x2*=10的绝对误差限*(x2*)=1的两倍/ 但是/近似值10
7、0的偏差不超过2/ 而近似值10的偏差不超过1/ 哪个近似值的精度好呢？/二、相对误差与相对误差限/设x的近似值为x*/ 则称x*的绝对误差e(x*)与精确值x的比值为近似值x*的相对误差/ 并记作er(x*)/一个近似值的精度不仅与绝对误差的大小有关/ 还与精确值的大小有关/ 为此我们需要引入相对误差的概念//12/PPT学习交流/同样/ 由于精确值 x 经常是未知的/ 所以/ 需要另外的近似表达形式/ 我们注意如下公式的推导/即/13/PPT学习交流/作为近似值 x*的相对误差//的正数r*称为近似值 x*的相对误差限//满足不等式/通常将/例如/ x1=1002的近似值 x1*=100的
8、相对误差为/而 x2=101的近似值 x2*=10的相对误差为/因此/ 从相对误差来讲近似值x1*比x2*的精度要好//14/PPT学习交流/若近似值 x*某位数数值的半个单位是其绝对误差限/ 而从该位数字到x*的最左边的非零数值数位止/ 共有n位数/ 则我们称这个近似值 x*具有n位有效数字/ 例如/ =3/141592/ x*= 3/14的绝对误差 |e(x*)|= 0/00159 0/011/2/ 即“4”所在的百分位的半个单位0/011/2 是x*的绝对误差限/ 故x*的最左边的非零位数(个位)“3”到百分位“4”共有三位/ 所以x* = 3/14具有3位有效数字/ 有效数字位数越多/
9、 近似值的绝对误差和相对误差就相对越小/ 反之亦然//三、有效数字及其位数/15/PPT学习交流/3 误差的传播规律/设x1*/ x2*分别为x1/ x2的近似值/ 函数值 y=f(x1/ x2)的近似值用y*=f (x1*/ x2*)表示/ 利用函数f (x1/ x2)在点(x1*/ x2*)处的二元泰勒展开公式/ 对y*的绝对误差和相对误差进行分析//近似值y*的绝对误差的近似表达式为//当 x1*和 x2*的绝对误差都较小时/ y y*= f (x1/ x2) f (x1*/ x2*)/16/PPT学习交流/在y*的绝对误差近似表达式的两端除以y*/即可得到y*的相对误差的近似表达式//
10、这两个近似表达式给出了二元函数绝对误差和相对误差的传播规律/ 一般地讲/ 我们比较注意二元运算中的相关问题/ 以下对加、减、乘、除四则运算进行讨论//17/PPT学习交流/加/ 减法相关的误差公式//设 f (x1/ x2)= x1x2 //18/PPT学习交流/乘法相关的误差公式：/设 f (x1/ x2)= x1 x2 //19/PPT学习交流/设 f (x1/ x2)=/除法相关的误差公式//20/PPT学习交流/例4/ 测得圆环的外径D1=100/05(cm)/ 内径D2=50/1(cm)/的近似值为//其中/ D1*=10 (cm)/ D2*=5 (cm)/ 且已知 | e(D1*)
11、|0/05(cm)/ | e(D2*)|0/1(cm)//则其面积/21/PPT学习交流/由近似公式可得S*的绝对误差限和相对误差限分别为：/圆环面积的近似值S*=68/905(cm2)的绝对误差限为1/5708(cm2)/ 相对误差限为2/7% //22/PPT学习交流/4 数值运算中应注意的几个原则/再来看例2的积分问题//由递推公式 In= 1 n In1 (n = 1/ 2/ ) 可得 In- In*=(-1)n n!(I0- I0*) (n=1/ 2/ ) 由 n! 惊人的发散速度/ 只要|I0 I0*|0/ 无论多小/ 则In In*就会无限地增大/ 如前面计算的结果/ 我们说这个
12、算法不是好算法//一、选用数值稳定性好的算法/如果我们将递推公式转换为//23/PPT学习交流/进行如下实验/ 取 N=20/ IN =10/ 则计算结果为//当x1*和x2*两数相近时/ y*= x1* x2*就会很小(即y*0)/ 由两数差的相对误差估计式//二、相近两数避免相减/可以看出|er*(y*)|可能会很大/ 导致y*有效数字减少//24/PPT学习交流/引例1 计算失真的原因就在于此/ 若将计算公式进行变换/ 就可能避免这种情况的发生//我们来看下面的计算过程//由于/则/3/392191110-8/这个计算结果是令人满意的//避免相近两数相减的方法随算式和条件的不同而各异//
13、例如/ 当 x 0 时/25/PPT学习交流/当| x |很小时/当然在无法改变算式的情况时/ 可以考虑增加计算过程中的有效数字的位数//等等//由于计算机的字长是有限的/ 对绝对值相差悬殊的两个数进行运算时/ 可能出现大数“吃掉”小数现象/从而影响结果的可靠性//三、警惕大数“吃”小数造成的危害/在例3的方程 x2 (109+1) x + 109 = 0 中 b = 109+1=1000000001=0/10000000011010 或 b = 0/10000000001010+0/0000000011010/26/PPT学习交流/=/109/若使用尾数八位的浮点计算机时/ 两结果的最后两位
14、“01”必然消失/ 其计算的结果均为/ b =/109/同样/即大数109“吃掉”了小数 1//根x2=0不能令人满意//求出一个绝对值较大的根 x1/ 然后利用公式x1x2=c/a求出另外一个根 x2/ 就可以保证所得到的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根的精度都是可靠的//于是/如果先利用公式//27/PPT学习交流/可以看出/ 当 x2趋于0时/ 比值的绝对误差有可能趋于/ 这就是绝对值相对较小的数不宜作除数的原因/ 在后面我们将看到相关的例子//四、绝对值相对较小的数不宜作除数/由两数之比的绝对误差限和相对误差限的估计式/28/PPT学习交流/应用这一原则/ 既可以提高解题效率、节省计算时间/ 又可以减少计算误差的积累/ 这不仅是数值计算中必须注意的原则/ 也是数值计算方法需要研究的重要内容之一/ 在数理统计中有一个重要且常用公式//五、简化计算步骤/ 减少运算次数/2
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